Несколько скриптов, показывающих параметры полётов на трамплине. По умолчанию значения брались для велосипеда, но всякие лыжи/сноуборды можно обсчитывать без изменений. Для реализации был выбран Simulink, т.к. он позволяет очень быстро моделировать физические процессы без написания дифференциальных уравнений. Open-source аналогов для него я не нашел, взял Matlab R2019b(возможно он есть на торрентах). У меня там установлены почти все доп-пакеты, но скорее всего достаточно только самого Matlab и Simulink, тк использовались самые распространенные блоки.
- Размеры приземления
- Подробные параметры полёта
- Подбор требуемой скорости
- Всякие наблюдения
- Технические подробности
Скрипт landing_dimensions.m рисующий требуемые углы и размеры приземления для основной и ошибочных траекторий. В начале файла указывается угол вылета, скорость, вероятная ошибка скорости и требуемые силы удара в ноги(как эквивалент дропа на плоскач). Траектория отрисовывается для центра тяжести, его высоту над подошвой можно изменить. Так же траектория ЦТ показывает куда и под каким углом воткнется тушка райдера если не приземлить нормально - лишний повод подумать над дробящими и фрикционными свойствами поверхности. В качестве точки (0,0) используется кромка трамплина, длина красных черточек 1.1м - как база велосипеда.
Дополнительная фича - можно указать высоту трамплина. То есть ты измерил скорость
и разброс скоростей рядом с ним,
а скрипт посчитал скорость на кромке через потерю кинетической энергии, без учета
сопротивления воздуха и трения подошвы(они скорее всего незначительные). Или указываем эту
высоту равной нулю, если точно знаешь скорость на кромке.
Скрипт flight_details.m выводящий подробно геометрию, скорость и время для заданных параметров вылета. Подошва всегда отрисовывается параллельно траектории ЦТ, из-за чего на больших углах иногда движется назад. Время всегда будет как наклонная линия, т.к. горизонтальная скорость почти не меняется. График скорости и времени соответствует положению ЦТ. Слева график чтобы понять падению с какой высоты соответствует эта скорость.
Скрипт required_speed.m, визуально очень похож на параметры полёта, но тут за тебя автоматически подбирают требуемую скорость с точностью до 0.1 км/ч(точнее вряд ли нужно) для заданного трамплина. Из вводимых параметров только углы вылета и приземления, и расстояния между ними. Подошва здесь постепенно вращается от угла вылета до угла приземления, в конце рисуется это самое приземление красной чертой.
Здесь сила удара в ноги вычисляется точнее, чем в "параметрах приземления" - помимо встречной скорости учитывается ещё направление силы тяжести, которую приходится преодолевать ногам. Я взял, что можно нормально спрыгнуть с 2х метров, ход ног и наклона получается ~1м, итого ты в рывке "поднимаешь" 3 своих массы - 2 на работу по погашению кинетической энергии, и ещё одну чтобы просто держать себя. Значит если нужно приземлять в вертикальную поверхность, то эквивалентная высота будет ощущаться в 1.5 раза меньше, т.к. на погашение кинетической энергии тратится уже всё усилие в 3 массы вместо 2х. А для угла 45° эквивалентную высоту можно умножить на 0.76. Если кажется, что ноги не могут поднимать 3 массы, то скорее всего они и не поднимают - они сами весят как остальное туловище, нагрузка приходит либо с меньшим рычагом, либо на более нижние суставы.
Для максимального удобства трамплин можно измерять лазерной рулеткой с встроенным угломером, только убедиться что у неё нормальная точность и диапазоны измерений. На момент написания текста я видел нормальные варианты косарей за 5 (90$). В них часто встроена "функция Пифагора" - измеряешь две точки без смещения рулетки, и она по углам и диагоналям сразу выдает тебе расстояние по горизонтали или вертикали между точками.
У этого скрипта есть веб-версия, которая не учитывает сопротивление воздуха(для примера на картинке разница составляет 0.3 км/ч, далее в тексте есть график ошибки для аэродинамики).
При помощи скрипта test_dependencies.m с разными модификациями
нарисовал несколько графиков зависимостей.
На графике ниже определял зависимость дальности полёта от скорости, начальный угол полёта
во всех случаях 45°. Если просто кинуть камень в вакууме(верхняя линия), то дальность
пропорциональная квадрату скорости. На линии ниже добавили сопротивление воздуха и она
начала спрямляться. На больших скоростях зависимость вообще становится похожа на
логарифмическую, но сюда это не влезло. Далее, красная линия ниже - добавили ненулевую
высоту ЦТ над подошвой, теперь его надо перекинуть через кромку трамплина, и вся линия
сместилась вниз. На двух нижних линиях добавилась высота трамплина над местом, где
замеряли скорость - тут можно обратить внимание на наклон, с которым стартует линия. Если
на первых линиях разница между 0 и 5м полёта это окно в 25км/ч, то на последней это всего
8км/ч. Но из-за кинетической энергии на большей скорости проще эту самую скорость держать -
это как на машине ехать 100 км/ч, торможение и разгон даются большими усилиями.
Далее вопрос - как влияет ошибка в 1км/ч на дальность полёта? График строился для трамплина
высотой 2м и с углом вылета 45°. Чтобы предоставить райдеру возможность ошибки на 1км/ч
нужно увеличить приземление почти на метр. И если бы высота трамплина была 3м, то это был
бы тот же график, только срезанный правее - дальность полёта прямо пропорциональна джоулям
кинетической энергии которые ты донёс до кромки, и ошибку логичнее измерять в этих самых
джоулях.
Следущим измерил влияние ошибки в угле вылета, на случай если мы его криво измерили
или подвеска сожрала пару градусов. На том же трамплине значения получились просто
исчезающе малыми, пришлось брать 3° вместо 1°. В целом получилась просто другая траектория
которая точно так же пропорциональна квадрату скорости.
Тогда посмотрим как в целом угол вылета влияет на параметры, на скорости ~60км/ч.
Маленькая ошибка на прошлом графике объясняется тем, что возле 45° у дальности "плато".
Но кстати максимальная дальность где-то на 43-44° из-за сопротивления воздуха. В
артиллерии точно так же - самая большая дальность на углах меньше 45°, кроме
каких-нибудь сверхдальних вариантов, где наоборот угол больше, чтобы раньше выйти из
атмосферы.
Для этого же трамплина 45° посмотрим влияние сопротивления воздуха на дальность полета. По
оси X теперь дальность полёта в вакууме, а по Y - сколько ты не долетишь из-за атмосферы.
Т.е. на 19м это всего 1 метр недолёта - большинство расчетов можно делать с простенькой
параболой, учитывая только ускорение свободного падения.
По итогу можно сказать, что зависимость дальности/высоты полёта от скорости можно описать
формулой
| Угол° | k для дальности | k для высоты |
|---|---|---|
| 5 | 0.001384 | 0.000030 |
| 10 | 0.002708 | 0.000119 |
| 15 | 0.003944 | 0.000263 |
| 20 | 0.005063 | 0.000460 |
| 25 | 0.006042 | 0.000702 |
| 30 | 0.006832 | 0.000983 |
| 35 | 0.007395 | 0.001294 |
| 40 | 0.007766 | 0.001625 |
| 45 | 0.007876 | 0.001967 |
| 50 | 0.007767 | 0.002308 |
| 55 | 0.007408 | 0.002639 |
| 60 | 0.006819 | 0.002950 |
| 65 | 0.006034 | 0.003231 |
| 70 | 0.005063 | 0.003473 |
| 75 | 0.003939 | 0.003670 |
| 80 | 0.002691 | 0.003815 |
| 85 | 0.001367 | 0.003904 |
| 90 | 0 | 0.003933 |
Все скрипты строятся вокруг запуска simulink-модели flight_model.slx, входные параметры
приходят в неё как экспорт переменных из среды matlab(что например мешает запускать её
в цикле parfor, но мне лень переделывать). Посмотреть её содержимое можно на картинке
ниже:
Всякая рутина вроде разделения на составляющие(одну и ту же величину умножить на sin и cos угла) вынес в подсистемы, чтобы не мозолили глаза. Блоки связанные с отрисовкой подошвы можно по большому счёту выкидывать - они не прям чтобы нужны, её приходится вращать в коде. Здесь учитывается два воздействия - ускорение свободного падения(оно кстати разное на разных широтах и высоте) и аэродинамическое замедление, параметры для которого задаются в файле aerodynamic_coefficient.m. По умолчанию аэродинамические параметры взяты для шоссера средней упитанности катающегося летом на высоте Москвы.
Вообще изначально мне хотелось сделать трехмерный случай, где учитывается сила и направление ветра, смещение от центра вылета и угол курса к оси вылета, и потом методом Монте-Карло посмотреть пятно вариантов приземления, среднюю силу удара в ноги и т.п. Но лень и здравый смысл победили, может как-нибудь потом.
Ещё одна из идей - можно с помощью simulink-coder транслировать модель в чистый Си, и потом уже его использовать для написания какого-нибудь калькулятора траекторий либо под андроид, либо вообще руками перевести в JS и сделать браузерную версию.
Потери на высоту трамплина можно вычислять точнее - сейчас просто берется потеря кинетической энергии для заданной высоты(E=mGh), но из-за наклона трамплина разница между ЦТ на кромке и ЦТ у основания будет чуть меньше.