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朴素贝叶斯（Naive Bayes）是一种简单的分类算法，它的经典应用案例为人所熟知：文本分类（如垃圾邮件过滤）。很多教材都从这些案例出发，本文就不重复这些内容了，而把重点放在理论推导（其实很浅显，别被“理论”吓到），三种常用模型及其编码实现（Python）。
如果你对理论推导过程不感兴趣，可以直接逃到三种常用模型及编码实现部分，但我建议你还是看看理论基础部分。
另外，本文的所有代码都可以在这里获取
#1. 朴素贝叶斯的理论基础
朴素贝叶斯算法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。
这里提到的贝叶斯定理、特征条件独立假设就是朴素贝叶斯的两个重要的理论基础。
##1.1 贝叶斯定理
先看什么是条件概率。
P(A|B)表示事件B已经发生的前提下，事件A发生的概率，叫做事件B发生下事件A的条件概率。其基本求解公式为：$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$
贝叶斯定理便是基于条件概率，通过P(A|B)来求P(B|A)：
顺便提一下，上式中的分母P(A),可以根据全概率公式分解为：
##1.2 特征条件独立假设
这一部分开始朴素贝叶斯的理论推导，从中你会深刻地理解什么是特征条件独立假设。
给定训练数据集（X,Y），其中每个样本x都包括n维特征，即$x=({x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}})$，类标记集合含有k种类别，即$y=({y_{1},y_{2},...,y_{k}})$。
如果现在来了一个新样本x，我们要怎么判断它的类别？从概率的角度来看，这个问题就是给定x，它属于哪个类别的概率最大。那么问题就转化为求解$P(y_{1}|x),P(y_{2}|x),...,P(y_{k}|x)$中最大的那个，即求后验概率最大的输出：$argmax_{y_{k}} P(y_{k}|x)$
那$P(y_{k}|x)$怎么求解？答案就是贝叶斯定理：
根据全概率公式，可以进一步地分解上式中的分母：
这里休息两分钟
先不管分母，分子中的$P(y_{k})$是先验概率，根据训练集就可以简单地计算出来。
而条件概率$P(x|y_{k})=P(x_{1},x_{2},...,x_{n}|y_{k})$，它的参数规模是指数数量级别的，假设第i维特征$x_{i}$可取值的个数有$S_{i}$个，类别取值个数为k个，那么参数个数为：$k\prod_{i=1}^{n}S_{i}$
这显然不可行。针对这个问题，朴素贝叶斯算法对条件概率分布作出了独立性的假设，通俗地讲就是说假设各个维度的特征$x_{1},x_{2},...,x_{n}$互相独立，在这个假设的前提上，条件概率可以转化为：
$P(x|y_{k})=P(x_{1},x_{2},...,x_{n}|y_{k})=\prod_{i=1}^{n}P(x_{i}|y_{k}) $ 【公式2】
这样，参数规模就降到$\sum_{i=1}^{n}S_{i}k$
以上就是针对条件概率所作出的特征条件独立性假设，至此，先验概率$P(y_{k})$和条件概率$P(x|y_{k})$的求解问题就都解决了，那么我们是不是可以求解我们所要的后验概率$P(y_{k}|x)$了？
这里思考两分钟
答案是肯定的。我们继续上面关于$P(y_{k}|x)$的推导，将【公式2】代入【公式1】得到：
于是朴素贝叶斯分类器可表示为：
因为对所有的$y_{k}$，上式中的分母的值都是一样的（为什么？注意到全加符号就容易理解了），所以可以忽略分母部分，朴素贝叶斯分类器最终表示为：
关于$P(y_{k})$，$P(x_{i}|y_{k})$的求解，有以下三种常见的模型.
#2. 三种常见的模型及编程实现
##2.1 多项式模型
当特征是离散的时候，使用多项式模型。多项式模型在计算先验概率$P(y_{k})$和条件概率$P(x_{i}|y_{k})$时，会做一些平滑处理，具体公式为：
N是总的样本个数，k是总的类别个数，$N_{y_{k}}$是类别为$y_{k}$的样本个数，$\alpha$是平滑值。
$N_{y_{k}}$ 是类别为$y_{k}$的样本个数，n是特征的维数，$N_{y_{k},x_{i}}$是类别为$y_{k}$的样本中，第i维特征的值是$x_{i}$的样本个数，$\alpha$是平滑值。
当$\alpha=1$时，称作Laplace平滑，当$0<\alpha<1$时，称作Lidstone平滑，$\alpha=0$时不做平滑。
如果不做平滑，当某一维特征的值$x_{i}$没在训练样本中出现过时，会导致$P(x_{i}|y_{k})=0$，从而导致后验概率为0。加上平滑就可以克服这个问题。
有如下训练数据，15个样本，2维特征$X^{1},X^{2}$，2种类别-1，1。给定测试样本$x=(2,S)^{T}$，判断其类别。
解答如下：
运用多项式模型，令$\alpha=1$
- 计算先验概率
- 计算各种条件概率
- 对于给定的$x=(2,S)^{T}$，计算：
由此可以判定y=-1。
###2.1.2 编程实现（基于Python，Numpy）
从上面的实例可以看到，当给定训练集时，我们无非就是先计算出所有的先验概率和条件概率，然后把它们存起来（当成一个查找表）。当来一个测试样本时，我们就计算它所有可能的后验概率，最大的那个对应的就是测试样本的类别，而后验概率的计算无非就是在查找表里查找需要的值。
我的代码就是根据这个思想来写的。定义一个MultinomialNB类，它有两个主要的方法：fit(X,y)和predict(X)。fit方法其实就是训练，调用fit方法时，做的工作就是构建查找表。predict方法就是预测，调用predict方法时，做的工作就是求解所有后验概率并找出最大的那个。此外，类的构造函数_init_()中，允许设定$\alpha$的值，以及设定先验概率的值。具体代码及如下：
"""
Created on 2015/09/06
@author: wepon (http://2hwp.com)
API Reference: http://scikit-learn.org/stable/modules/naive_bayes.html#naive-bayes
"""
import numpy as np
class MultinomialNB(object):
"""
Naive Bayes classifier for multinomial models
The multinomial Naive Bayes classifier is suitable for classification with
discrete features
Parameters
----------
alpha : float, optional (default=1.0)
Setting alpha = 0 for no smoothing
Setting 0 < alpha < 1 is called Lidstone smoothing
Setting alpha = 1 is called Laplace smoothing
fit_prior : boolean
Whether to learn class prior probabilities or not.
If false, a uniform prior will be used.
class_prior : array-like, size (n_classes,)
Prior probabilities of the classes. If specified the priors are not
adjusted according to the data.
Attributes
----------
fit(X,y):
X and y are array-like, represent features and labels.
call fit() method to train Naive Bayes classifier.
predict(X):
"""
def __init__(self,alpha=1.0,fit_prior=True,class_prior=None):
self.alpha = alpha
self.fit_prior = fit_prior
self.class_prior = class_prior
self.classes = None
self.conditional_prob = None
def _calculate_feature_prob(self,feature):
values = np.unique(feature)
total_num = float(len(feature))
value_prob = {}
for v in values:
value_prob[v] = (( np.sum(np.equal(feature,v)) + self.alpha ) /( total_num + len(values)*self.alpha))
return value_prob
def fit(self,X,y):
#TODO: check X,y
self.classes = np.unique(y)
#calculate class prior probabilities: P(y=ck)
if self.class_prior == None:
class_num = len(self.classes)
if not self.fit_prior:
self.class_prior = [1.0/class_num for _ in range(class_num)] #uniform prior
else:
self.class_prior = []
sample_num = float(len(y))
for c in self.classes:
c_num = np.sum(np.equal(y,c))
self.class_prior.append((c_num+self.alpha)/(sample_num+class_num*self.alpha))
#calculate Conditional Probability: P( xj | y=ck )
self.conditional_prob = {} # like { c0:{ x0:{ value0:0.2, value1:0.8 }, x1:{} }, c1:{...} }
for c in self.classes:
self.conditional_prob[c] = {}
for i in range(len(X[0])): #for each feature
feature = X[np.equal(y,c)][:,i]
self.conditional_prob[c][i] = self._calculate_feature_prob(feature)
return self
#given values_prob {value0:0.2,value1:0.1,value3:0.3,.. } and target_value
#return the probability of target_value
def _get_xj_prob(self,values_prob,target_value):
return values_prob[target_value]
#predict a single sample based on (class_prior,conditional_prob)
def _predict_single_sample(self,x):
label = -1
max_posterior_prob = 0
#for each category, calculate its posterior probability: class_prior * conditional_prob
for c_index in range(len(self.classes)):
current_class_prior = self.class_prior[c_index]
current_conditional_prob = 1.0
feature_prob = self.conditional_prob[self.classes[c_index]]
j = 0
for feature_i in feature_prob.keys():
current_conditional_prob *= self._get_xj_prob(feature_prob[feature_i],x[j])
j += 1
#compare posterior probability and update max_posterior_prob, label
if current_class_prior * current_conditional_prob > max_posterior_prob:
max_posterior_prob = current_class_prior * current_conditional_prob
label = self.classes[c_index]
return label
#predict samples (also single sample)
def predict(self,X):
#TODO1:check and raise NoFitError
#ToDO2:check X
if X.ndim == 1:
return self._predict_single_sample(X)
else:
#classify each sample
labels = []
for i in range(X.shape[0]):
label = self._predict_single_sample(X[i])
labels.append(label)
return labels
我们用上面举的例子来检验一下，注意S,M,L我这里用4，5，6替换：
import numpy as np
X = np.array([
[1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3],
[4,5,5,4,4,4,5,5,6,6,6,5,5,6,6]
])
X = X.T
y = np.array([-1,-1,1,1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,1,1,-1])
nb = MultinomialNB(alpha=1.0,fit_prior=True)
nb.fit(X,y)
print nb.predict(np.array([2,4]))#输出-1
##2.2 高斯模型 当特征是连续变量的时候，运用多项式模型就会导致很多$P(x_{i}|y_{k})=0$（不做平滑的情况下），此时即使做平滑，所得到的条件概率也难以描述真实情况。所以处理连续的特征变量，应该采用高斯模型。
###2.2.1 通过一个例子来说明： 性别分类的例子 来自维基
下面是一组人类身体特征的统计资料。
| 性别 | 身高（英尺） | 体重（磅） | 脚掌（英寸） |
|---|---|---|---|
| 男 | 6 | 180 | 12 |
| 男 | 5.92 | 190 | 11 |
| 男 | 5.58 | 170 | 12 |
| 男 | 5.92 | 165 | 10 |
| 女 | 5 | 100 | 6 |
| 女 | 5.5 | 150 | 8 |
| 女 | 5.42 | 130 | 7 |
| 女 | 5.75 | 150 | 9 |
已知某人身高6英尺、体重130磅，脚掌8英寸，请问该人是男是女？ 根据朴素贝叶斯分类器，计算下面这个式子的值。
P(身高|性别) x P(体重|性别) x P(脚掌|性别) x P(性别)
这里的困难在于，由于身高、体重、脚掌都是连续变量，不能采用离散变量的方法计算概率。而且由于样本太少，所以也无法分成区间计算。怎么办？ 这时，可以假设男性和女性的身高、体重、脚掌都是正态分布，通过样本计算出均值和方差，也就是得到正态分布的密度函数。有了密度函数，就可以把值代入，算出某一点的密度函数的值。 比如，男性的身高是均值5.855、方差0.035的正态分布。所以，男性的身高为6英尺的概率的相对值等于1.5789（大于1并没有关系，因为这里是密度函数的值，只用来反映各个值的相对可能性）。
对于脚掌和体重同样可以计算其均值与方差。有了这些数据以后，就可以计算性别的分类了。
P(身高=6|男) x P(体重=130|男) x P(脚掌=8|男) x P(男)
= 6.1984 x e-9
P(身高=6|女) x P(体重=130|女) x P(脚掌=8|女) x P(女)
= 5.3778 x e-4
可以看到，女性的概率比男性要高出将近10000倍，所以判断该人为女性。
- 总结
高斯模型假设每一维特征都服从高斯分布（正态分布）：
###2.2.2 编程实现
高斯模型与多项式模型唯一不同的地方就在于计算 $ P( x_{i} | y_{k}) $，高斯模型假设各维特征服从正态分布，需要计算的是各维特征的均值与方差。所以我们定义GaussianNB类，继承自MultinomialNB并且重载相应的方法即可。代码如下：
#GaussianNB differ from MultinomialNB in these two method:
# _calculate_feature_prob, _get_xj_prob
class GaussianNB(MultinomialNB):
"""
GaussianNB inherit from MultinomialNB,so it has self.alpha
and self.fit() use alpha to calculate class_prior
However,GaussianNB should calculate class_prior without alpha.
Anyway,it make no big different
"""
#calculate mean(mu) and standard deviation(sigma) of the given feature
def _calculate_feature_prob(self,feature):
mu = np.mean(feature)
sigma = np.std(feature)
return (mu,sigma)
#the probability density for the Gaussian distribution
def _prob_gaussian(self,mu,sigma,x):
return ( 1.0/(sigma * np.sqrt(2 * np.pi)) *
np.exp( - (x - mu)**2 / (2 * sigma**2)) )
#given mu and sigma , return Gaussian distribution probability for target_value
def _get_xj_prob(self,mu_sigma,target_value):
return self._prob_gaussian(mu_sigma[0],mu_sigma[1],target_value)
##2.3 伯努利模型
与多项式模型一样，伯努利模型适用于离散特征的情况，所不同的是，伯努利模型中每个特征的取值只能是1和0(以文本分类为例，某个单词在文档中出现过，则其特征值为1，否则为0).
伯努利模型中，条件概率$P(x_{i}|y_{k})$的计算方式是：
当特征值$x_{i}$为1时，$P(x_{i}|y_{k})=P(x_{i}=1|y_{k})$；
当特征值$x_{i}$为0时，$P(x_{i}|y_{k})=1-P(x_{i}=1|y_{k})$；
###2.3.1 编程实现
伯努利模型和多项式模型是一致的，BernoulliNB需要比MultinomialNB多定义一个二值化的方法，该方法会接受一个阈值并将输入的特征二值化（1，0）。当然也可以直接采用MultinomialNB，但需要预先将输入的特征二值化。写到这里不想写了，编程实现留给读者吧。
##3 参考文献
- 《统计学习方法》，李航
- 《机器学习》
- 维基百科Sex classification
- 朴素贝叶斯的三个常用模型：高斯、多项式、伯努利
- 朴素贝叶斯分类器的应用
- 数学之美番外篇：平凡而又神奇的贝叶斯方法