modint.md

Modint

自動でmodを取る構造体です。AC Libraryはmodintを使わなくとも全アルゴリズムが使えるように整備しているので、必ずしもこのファイルの内容を把握する必要はありません�。

多くの問題では modint998244353, modint1000000007, modint のどれかを使えば十分で、以下のように使えます。

#include <atcoder/modint>
#include <iostream>

using namespace std;
using namespace atcoder;

using mint = modint998244353;
// or: typedef modint998244353 mint;

int main() {
    // print sum of array (mod 998244353)
    int n;
    cin >> n;
    mint sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        sum += x;
    }
    cout << sum.val() << endl;
}

modがfixedでない場合は、modint を使用し以下のように書けます。

#include <atcoder/modint>
#include <iostream>

using namespace std;
using namespace atcoder;

using mint = modint;
// or: typedef modint mint;

int main() {
    // print sum of array (input mod)
    int n, mod;
    cin >> n >> mod;
    mint::set_mod(mod);
    mint sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        sum += x;
    }
    cout << sum.val() << endl;
}

以下の関数らは、set_mod を除き $3$ つともに対して動きます。

コンストラクタ

(1) modint x()
(2) modint x<T>(T y)

• (1) modintのデフォルトコンストラクタです。$0$ が格納されます。
• (2) 整数型 T(int, char, ull, bool, ...) に対するコンストラクタです。y のmodを取ってmodintに格納します。

set_mod

void modint::set_mod(int m)

modを設定します。最初に呼んでください。

@{keyword.constraints}

• $1 \leq m \leq 2 \times 10^9 + 1000$

@{keyword.complexity}

• $O(1)$

mod

int modint::mod()

modを返します。

val

int x.val();

xに格納されている値を返します。

各種演算

-modint;

modint++;
modint--;
++modint;
--modint;

modint + modint;
modint - modint;
modint * modint;
modint / modint;

modint += modint;
modint -= modint;
modint *= modint;
modint /= modint;

modint == modint;
modint != modint;

が動きます。

modint x = 10;
1 + x;

も(modint(1) + xと自動で解釈されるので)動きます。

modint::set_mod(11);
modint y = 10;
int z = 1234;
y * z;

もy * modint(z)と解釈され、動きます。

@{keyword.constraints}

• a / b(or a /= b)を行なう時、gcd(b.val(), mod) == 1

@{keyword.complexity}

• $O(1)$ (割り算以外)
• $O(\log \mathrm{mod})$ (割り算)

pow

modint x.pow(ll n)

$x^n$ を返します。

@{keyword.constraints}

• $0 \le n$

@{keyword.complexity}

• $O(\log n)$

inv

modint x.inv()

$xy \equiv 1$ なる $y$ を返します。

@{keyword.constraints}

• gcd(x.val(), mod) = 1

@{keyword.complexity}

• $O(\log \mathrm{mod})$

raw

modint modint::raw(int x)

xに対してmodを取らずに、modint(x)を返す。

定数倍高速化のための関数です。

上で述べたように

modint a;
int i;
a += i;

は、iがmod以上でも動きます。勝手にiに対してmodを取るためです。

ですが、たとえば以下のようなコードでは、iがmodを超えないことを保証できます。

int main() {
    modint::set_mod(1000000007);
    modint a = 1;
    for (int i = 1; i < 100000; i++) {
        a += i;
    }
}

このような時に、

int main() {
    modint::set_mod(1000000007);
    modint a = 1;
    for (int i = 1; i < 100000; i++) {
        a += modint::raw(i);
    }
}

と書くと、modの回数を減らすことが出来ます。

当然ながらmodint::raw(x)にmod以上の値を入れたときの挙動は未定義です。

@{keyword.constraints}

• $0 \leq x \lt \mathrm{mod}$

Tips(other mod)

問題文で他のmod (例: 1000000009) が与えられる場合、以下のように書けます

using mint = static_modint<1000000009>;

modint998244353, modint1000000007 は、static_modint<998244353>, static_modint<1000000007>のエイリアスになっています。

using modint998244353 = static_modint<998244353>;
using modint1000000007 = static_modint<1000000007>;

Tips(複数mod)

複数種類modを使用したい場合以下のようにできます

using mint0 = dynamic_modint<0>;
using mint1 = dynamic_modint<1>;

modintは、dynamic_modint<-1>のエイリアスになっています。

using modint = dynamic_modint<-1>;

@{keyword.examples}

@{example.modint_usage}